Asal Sayılar, Ortak Kat ve Ortak Bölen

Kitapta s. 38-56 · 50 soru

Bu konuda bir doğal sayının asal olup olmadığını belirlemeyi, asal çarpanlarını bulmayı ve iki doğal sayının ortak katları ile ortak bölenlerini kullanarak günlük hayat problemlerini çözmeyi öğreniyoruz.

Mutlaka bil

Asal sayının yalnızca iki ayrı çarpanı vardır; bu yüzden 1 asal değildir ve asalların en küçüğü 2'dir. s. 40
Asal çarpanlar iki yolla bulunur: çarpan ağacı ve asal çarpan algoritması; algoritmada bölüm 1 olunca işlem biter. s. 43
Ortak kat iki sayının katlarında birlikte görülen sayıdır; ortak bölen ise iki sayıyı da kalansız bölen sayıdır ve 1 her zaman ortak bölendir. s. 53

Asal sayı ve asal çarpan

Yalnızca iki ayrı çarpanı bulunan doğal sayılara asal sayı denir. s. 39
En küçük asal sayı 2'dir ve 2'den başka çift asal sayı bulunmaz. s. 40
Bir sayının çarpanları arasından asal olanlara o sayının asal çarpanı denir. s. 42

Asal çarpanları bulmanın iki yolu

Çarpan ağacında sayı iki çarpana ayrılır; asal olmayan çarpan ayrılmaya devam eder. s. 43
Algoritmada sayı sırayla asal sayılara bölünür; bölüm 1 olduğunda işlem biter. s. 43
Bir doğal sayı, bulunan asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazılabilir. s. 44

Ortak kat ve ortak bölen

İki sayının katları arasından ikisinde de görülenler o sayıların ortak katlarıdır. s. 50
İki sayının bölenleri arasından ikisinde de görülenler ortak bölenlerdir; 1'den başkası yoksa sayılar aralarında asaldır. s. 53

Formüller ve kurallar

Asal sayı tanımı: sadece iki farklı doğal sayı çarpanı olan sayılara asal sayı denir. Örneğin 23 yalnızca 1 x 23 biçiminde yazılabildiği için asaldır. s. 39
Erathosthenes kalburunun beş adımı, yüzlük tablo üzerinde sırayla uygulanır: 1) 2 işaretlenir, 2'nin katlarının üzeri çizilir. 2) 3 işaretlenir, 3'ün katlarının üzeri çizilir. 3) 5 işaretlenir, 5'in katlarının üzeri çizilir. 4) 7 işaretlenir, 7'nin katlarının üzeri çizilir. 5) 1 dışında üzeri çizilmemiş sayılar işaretlenir. Geriye kalan işaretli sayılar asal sayılardır. s. 39
İki farklı çarpanı olan en küçük doğal sayı 2 olduğundan en küçük asal sayı da 2'dir. Ayrıca 2'den başka çift asal sayı yoktur. s. 40
Asal çarpan tanımı: bir doğal sayının çarpanlarından asal sayı olanlarına asal çarpan denir. Örneğin 12'nin çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir; bunlardan asal olanlar ise 2 ile 3'tür. s. 42
Çarpan ağacı yöntemi adım adım şöyle uygulanır: doğal sayı yazılıp altına iki ok çizilir; okların ucuna en az biri asal olan iki çarpan yazılır ve asal olan işaretlenir; asal olmayan çarpandan iki ok daha çıkarılarak aynı işlem sürdürülür; geriye yalnızca asal çarpanlar kalınca işlem bitirilir. s. 43
Asal çarpan algoritması şöyle uygulanır: doğal sayının sağına dikey bir bölme çizgisi çizilir; sayıyı kalansız bölen bir asal sayı belirlenip çizginin sağına yazılarak bölme yapılır ve o asal sayı işaretlenir; bölüm, incelenen sayının altına yazılır ve yeniden kalansız bölen bir asal sayı aranır; bölüm 1 olunca işlem biter. s. 43
İki yöntemde de işaretlenen asal sayılar, başta verilen doğal sayının asal çarpanlarıdır. s. 43
Bir doğal sayı, asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazılabilir. Örneğin 20 = 2 x 2 x 5 yazılır. Aynı çarpan birkaç kez geçse de üslü gösterim kullanılmaz, çarpanlar tek tek yazılır. s. 44
Kenar uzunluklarının ikisi de asal sayı olan dikdörtgenler çizilebilir; böyle bir dikdörtgenin alanı birim kareler, çevre uzunluğu ise kenarlardaki birimler sayılarak bulunur. s. 41
Ortak kat tanımı: iki doğal sayının katlarından ortak olanlarına bu sayıların ortak katları denir. Örneğin 2'nin katları 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...; 3'ün katları 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...; 2 ile 3'ün ortak katları 6, 12, 18, ... olur. s. 50
Ortak katlar bir formülle değil, listeyle bulunur: iki sayının katları sırayla yazılır ve iki listede birlikte görünen sayılar seçilir. s. 50
Ortak bölen tanımı: iki doğal sayının bölenlerinden ortak olanlara bu sayıların ortak bölenleri denir. Örneğin 12'nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12; 21'in bölenleri 1, 3, 7, 21'dir; 12 ile 21'in ortak bölenleri 1 ve 3'tür. s. 53
Ortak bölenler de listeyle bulunur: iki sayının bölenleri ayrı ayrı yazılır ve iki listede birlikte görünen sayılar seçilir. s. 53
Aralarında asal sayılar: iki doğal sayının 1'den başka ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Örneğin 8'in bölenleri 1, 2, 4, 8; 21'in bölenleri 1, 3, 7, 21'dir; 1'den başka ortak bölenleri olmadığı için 8 ile 21 aralarında asaldır. s. 55
Paylaştırma kuralı: iki miktar birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak biçimde eşit paylara ayrılırken bir payın alabileceği doğal sayı değerleri, iki miktarın ortak bölenleridir. Pay ne kadar büyük seçilirse o kadar az pay elde edilir. s. 54
Yinelenen olaylar kuralı: belirli aralıklarla yinelenen iki olay, bu iki aralığın ortak katı olan zamanlarda birlikte yinelenir. Birlikte yinelendikleri ilk zaman, ortak katların en küçüğüdür. s. 49

Kaynaklar: kitaptaki bağlantılar ve net olmayan yerler

Kitapta net olmayan yerler

[kitapta net değil - s. 38] 'Bazı zeminleri modellerken kareleri tek sıra hâlinde dizmekten başka seçeneğin olmaması' sorusu tartışmaya bırakılmıştır; kitap bu zeminlerin hangileri olduğunu yazmaz. s. 38
[kitapta net değil - s. 39] Erathosthenes kalburu etkinliğinde beş adım uygulandıktan sonra tabloda işaretlenecek asal sayıların listesi kitapta yazılı değildir; sonucu öğrencinin kendi bulması istenir. s. 39
[kitapta net değil - s. 39] '1 neden asal sayı değildir?', '2'den başka çift asal sayı var mıdır?' ve 'asal sayıların sonu var mıdır?' soruları tartışmaya bırakılmıştır; kitap bu üç sorunun cevabını vermez. s. 39
[kitapta net değil - s. 40] Etkinlik 3'teki oyunun üç sorusunun (tüm arkadaşlarından EVET alan kart, en fazla HAYIR alan kart, yalnızca bir EVET alan kartlar) cevapları kitapta yazılı değildir. s. 40
[kitapta net değil - s. 41] Örnek 1'de a, b, c ve ç şıkları boş bırakılmıştır; çizilecek dikdörtgenlerin kenar uzunlukları da istenen çevre uzunlukları da kitapta verilmemiştir. s. 41
[kitapta net değil - s. 42] Örnek 2'de 12, 25, 35 ve 44 sayıları için ayrılan çarpan ve asal çarpan tabloları noktalı boşluklardan oluşur; yalnızca 12 için örnek doldurulmuştur, diğer üç sayının cevabı kitapta yoktur. s. 42
[kitapta net değil - s. 43] Etkinlik 4'te çarpan ağacı yalnızca 28 sayısı için örneklenmiştir; 45, 52 ve 72 için istenen asal çarpanlar boş bırakılmış, cevapları kitapta verilmemiştir. s. 43
[kitapta net değil - s. 44] Asal çarpan algoritması yalnızca 28 ile 20 sayıları için örneklenmiştir; 48, 66, 84, 56, 98 ve 150 sayıları için yapılacak bölme basamakları ve sonuçlar kitapta yazılı değildir. s. 44
[kitapta net değil - s. 45] Sayfadaki dört örneğin (Örnek 3, 4, 5 ve 6) hiçbirinin cevabı kitapta verilmemiştir; sembollerin temsil ettiği sayılar da yazılı değildir. s. 45
[kitapta net değil - s. 46] Etkinlik 5'te dört öğrencinin okul numaraları (30, 47, 57 ve 75) verilir ama kimin kaç puan aldığı ve en fazla puana kimin ulaştığı kitapta yazılı değildir; 68 numaralı öğrenci eklendiğinde sonucun değişip değişmeyeceği de tartışmaya bırakılmıştır. s. 46
[kitapta net değil - s. 49] Kan bağışı etkinliğinde zaman çizelgesinin tamamlanmış hâli ve dört sorunun cevapları kitapta yoktur; çizelgeyi işaretleme işi öğrenciye bırakılmıştır. s. 49
[kitapta net değil - s. 50] Etkinlik 2'de yüzlük kartta 4'ün katlarının maviye, 6'nın katlarının sarıya, 10'un katlarının kırmızıya boyanması istenir; boyama da üç sorunun cevabı da öğrenciye bırakılmış, kitapta yazılmamıştır. s. 50
[kitapta net değil - s. 51] Örnek 1, Problem 1 ve Problem 2'nin yalnızca soruları vardır; 10 ile 14'ün 100-600 arasındaki ortak kat sayısı, Selma'nın ödediği miktar ve ikinci nöbetin günü kitapta verilmez. s. 51
[kitapta net değil - s. 52] Mama kampanyası etkinliğinin üç sorusunun cevapları kitapta yoktur; barınak başına düşen miktarlarla başlangıçtaki miktarlar arasındaki ilişkiyi kurma işi tümüyle öğrenciye bırakılmıştır. s. 52
[kitapta net değil - s. 53] Örnek 1'de boyama öğrenciye bırakılmıştır ve '16 ile 20'nin ortak bölenleri' ile '18 ile 30'un ortak bölenleri' satırları boştur. Örnek 2'nin (45 ile 90) cevabı da verilmemiştir. s. 53
[kitapta net değil - s. 53] Kitap 'bölen' sözcüğünü ortak bölen tanımında kullanır ama bu sayfalarda bölenin kendisini tanımlamaz; çarpan ile bölen arasındaki ilişki de yazılı olarak kurulmaz. s. 53
[kitapta net değil - s. 54] Problem 1, Problem 2 ve Etkinlik 2'nin cevapları kitapta yazılı değildir; şişe hacminin, boru parçası uzunluğunun ve kutulara konulacak meyve miktarının alabileceği değerler boş bırakılmıştır. s. 54
[kitapta net değil - s. 55] Örnek 3'te 24 sayı çiftinin altına birer harf yazılmıştır ama aralarında asal çiftlerin harfleriyle oluşturulacak kelime kitapta yazılı değildir. s. 55
[kitapta net değil - s. 56] İZLEME TESTİ'nin beş sorusunun hiçbirinin cevabı kitapta yoktur; cevap anahtarı bu sayfalarda verilmemiştir. s. 56

Bu özetler MEB ders kitaplarından eğitim amaçlı hazırlanmıştır. Asıl kaynak MEB'in resmî ders kitabıdır. Resmî ders kitapları (MEB)